若手研究者による幾何学研究交流会 in 徳島

カンドル拡大とは，各ファイバーが等しい濃度を持つ全射カンドル準同型である．この概念はカンドル2-コサイクルの一般化ともみなすことができ，結び目不変量への応用などに用いられ重要な役割を果たす．今回は，幾何学的に構成できるカンドル拡大の例を紹介する．本講演の内容の一部は田丸博士氏との共同研究に基づく．

曲面の微分幾何と，可積分系と呼ばれる可解な非線形偏微分方程式の理論との関係は，古くから研究されてきた。本発表では，ガウス曲率が負の一定値をもつ曲面（K曲面）と，サイン・ゴルドン方程式と呼ばれる非線形偏微分方程式の解との対応について概説する。特に，既知のK曲面から新たなK曲面を生成するベックルンド変換に焦点を当て，この変換がサイン・ゴルドン方程式の解に対しても新たな解を生成することを紹介する。さらに，ビアンキの可換律と呼ばれる，解の重ね合わせ原理が成り立つことを述べ，それが離散幾何的な議論によって理解できることを説明する。

PeditとWu（1995）、そしてBobenkoとPinkall（1999）は、平均曲率が一定のisothermic netと、それに平行曲面として現れるガウス曲率が正で一定のcircular netに対応するLax対を研究した。さらに、HoffmannとSageman-Furnas（2016）は、ガウス曲率が負で一定のcircular netに対応するLax対を研究した。本講演では、まずこれらを比較し、離散ゲージ理論との関係について考察する。さらに、回転対称なcircular netに対する明示的なLax対を与え、回転方向の不変性に関して得られた結果を紹介する。本講演の内容はThomas Raujouan氏とWayne Rossman氏との共同研究に基づく。

本発表では，離散双等温曲面に作用する変換について考察する．これらの変換には可換性が現れ，その性質を用いることで新たな離散曲面を生成することができる．同様の現象は連続的な場合にも見られるが，離散幾何の立場から見ることで，両者を統一的に理解することが可能となる．特に本発表では，離散極小曲面に対するダルブー変換の重ね合わせに注目する．Hertrich-Jeromin および本田は，双等温曲面に対する種々の変換の可換性を示し，その応用として2つの極小曲面がダルブー変換で対応するための必要十分条件を与えた．本研究では，この結果を離散幾何の観点から再検討し，離散極小曲面の重ね合わせが離散幾何の観点から自然に記述できることを示す．さらに，この枠組みが連続的な場合にも適用できることを紹介する．本発表の内容は，安本真士氏（徳島大学）との共同研究に基づくものである．

本研究では,リー群上の特別な左不変擬リーマン計量を考察する.与えられたリー群に対し, その上の左不変擬リーマン計量全体の空間には,スカラー倍と自己同型による自然な群作用がある. この軌道空間はハウスドルフではなく複雑である. そこで, 閉軌道空間に焦点を当て, 「特別な計量の存在・非存在を調べるには閉軌道空間上の計量のみを見れば十分である」ことを示す.また, あるリー群に対する閉軌道空間の決定結果についても述べる.